İkinci dereceden denklemler konusunun bir alt başlığı olan parabol, günümüzde birçok öğrenci tarafından pek sevilen ve anlaşılabilen bir bahis değil. Biz de bu arkadaşlara parabolü sevdirmek ismine, husus anlatımı yaparak denklemler üzerinden çeşitli örnek sorular çözdük.
Tarihi M.Ö. 380’li yıllara kadar dayanan parabol, her vakit matematiğin en dikkat çeken alanlarından biri olmuştur. Öteki hususlardan farklı olarak parabol icat edilmedi. Tersine keşfedildi ve üzerinde çeşitli araştırmalar yapıldı. Günümüzde birçok pratik uygulamada kullanılıyor.
Bu yazımızda da, parabolü tüm ayrıntılarıyla ele alarak bahis anlatımı yaptık. Ayrıyeten, mevzuyu pekiştirmek ismine sık kullanılan denklemleri kullanarak daha evvel imtihanlarda çıkmış örnek soruları çözdük. Lafı daha fazla uzatmadan içeriğimize geçelim.
Temelden başlayalım; parabol nedir?
Parabol, kısaca belli bir eğrinin denklemidir; o denli ki, eğri üzerinde bulunan her nokta, sabit bir noktadan ve sabit bir çizgiden her vakit eşit uzaklıkta olur. Bu sabit nokta parabolün odak noktasıdır ve sabit çizgi parabolün doğrultmanıdır. Diğer bir deyişle, makul bir noktadan yahut muhakkak bir çizgiden eşit uzaklıkta olan bir noktanın geometrik kısmına parabol denir.
Parabolik eğriler fizik, mühendislik, finans ve bilgisayar bilimleri üzere birçok alanda yaygın olarak kullanılıyor. Parabol, denkleme bağlı olarak üst yahut aşağı içbükey olabilen U şeklinde bir eğridir.
Peki parabol nasıl ortaya çıktı?
Tarihsel olarak parabolün geometrik özellikleri eski Yunanlılar tarafından ortaya konmuştur. Tarihî kayıtlar incelendiğinde Menacchmus ( M.Ö. 380-320), hiperbol ve elipsin yanı sora parabolün özelliklerini de inceleyen ilk kişi olarak karşımıza çıkıyor. Daha sonra, Pergeli Apollonius M.Ö. 262-190) konik kesitler üzerine bir çalışma yaptı, lakin yaptığı parabol tarifi oranlar cinsindendi ve çalışmasında rastgele bir koordinat kullanımı yoktu.
Bu tarihlerden uzun yıllar sonra, Galileo (1564-1642), bir merminin yerçekimi tesiri altında parabolik bir yol ile ilerlediğini fark etti. Ünlü matematikçi Kepler (1571-1630) ise, gezegenlerin Güneş etrafında hareket ederken eliptik hale çok yakın bir halde döndüğünü birinci fark eden kişi oldu. Newton ise bunu kozmik çekim yasasını kullanarak kanıtladı.
Parabolün standart denklemi nedir, nasıl yazılır?
XY düzleminde yer alan parabol üzerinde koordinatları (x,y) olan bir P noktası alın. Parabolün tarifi gereği, parabol üzerindeki rastgele bir noktanın odağa ve doğrultmana olan uzaklığı eşittir. P’nin doğrultmana olan uzaklığı ise PB biçiminde söz edilir; burada B’nin koordinatları doğrultu üzerinde yer aldığı içim (-a, y)’dir ve P’nin odaktan uzaklığı PF’dir.
Parabol tarifine nazaran PF = PB (1) olduğundan, uzaklık formülü kullanarak şu sonucu elde ederiz:
PF = √((x-a)² +(y-0)² = √{(x-a)² +y² } . . . .(2)
PB = √{(x+a)² } (3)
(1), (2) ve (3). denklemleri kullanarak şu sonucu elde ederiz:
√{(x−a) +y² } = √{(x+a)² }
⇒ (x-a)² + y² = (x+a)²
⇒ x² + a² – 2ax + y² = x² + a² + 2ax
⇒ y² – 2ax = 2ax
= y² = 4ax
Genel olarak, bir parabolün standart denkleminde doğrultman y eksenine paralel ise şu halde bir denklem oluşur;
y² = 4ax
Eğer parabol yan yana ise, yani doğrultman x eksenine paralel ise, parabolün standart denklemi şöyle olur;
x² = 4ay
Bu iki durum dışında bir parabolün denklemi, şayet parabol negatif kısımda ise y² = -4ax ve x² = -4ay halinde olabilir.
Parabol formülleri nelerdir?
Tepe noktası ve bir noktası bilinen parabol formülü
y = a.(x-r)² + k
x ekseninin kestiği noktalar ve üzerinde diğer bir nokta bilinen parabol formülü
f(x) = a. (x – x1) . (x – x2)
Üç noktası bilinen parabol formülü
y=f(x) =ax² + bx + c
Sınavlarda çıkmış örnek parabol soruları
Soru 1:
Şekilde grafiği verilen parabolün zirve noktası, T(5/2, 5) ve y eksenini kestiği nokta A(0,4)’tür. Bu parabolün denklemi y = ax² + bx + c olduğuna nazaran b kaçtır?
Çözüm 1:
Tepe noktasını kullanarak,
y = a(x+5/2)² + 5 biçiminde denklemi yazabiliriz.
(0,4) noktasını da kullanalım.
4 = a(0+5/2)² + 5
4 = 25a / 4 + 5
-1 = 25a/4 => -4 = 25a => a = – 4 / 25’tir.
y = – 4 / 25 (x+5/2)² + 5 denklemini açarak yazalım.
= – 4 / 25 x² + 5x + 25/4) + 5
= – 4 /25 x² – 4 / 5 x + olur.
Buna nazaran b = -⅘ olur.
Soru 2:
y = x² parabolü ile y = 2 – x doğrusu ortasında kalan hudutlu bölgenin sonları üzerindeki (x, y) noktaları için x² + y² sözünün alabileceği en büyük kıymet kaçtır?
Çözüm 2:
ilk evvel parabol ile doğrunun grafiğini çizelim. y = x² parabolü zirve noktası orjin olan kolları üst gerçek olan bir paraboldür. y = 2 – x doğrusu eksenleri 2 ve 2 noktasında keser.
x²+ y²nin en büyük kıymeti için orjinden en uzak noktayı almalıyız. Bu da A noktasıdır. A noktasının koordinatlarını bulalım.
x²- 2 – x
x² + x – 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0 , x = -2 pahası A’nın apsisidir.
x = -2 için y = 2 – x – 4’tür.
A(-2, 4) noktası için
x² + y² = (-2)² + 4²
= 4 + 16 = 20’dir.
Soru 3:
y = x² – 2(a + 1 )x + a² -1
parabolü y = 1 doğrusuna teğet olduğuna nazaran, a kaçtır?
Çözüm 3:
y = 1 olduğunda işlevin tek bir kökü olmalı ki y = 1 doğrusunda teğet olsun. O halde,
1 = x² – 2(a+1)x + a² -1
0 = x² -2(a +1)x + a² – 2 denkleminde Δ = 0’dır.
(-2(a+1))² – 4.a.(a²-2)=0
4(a² + 2a + 1)- 4a² + 8 = 0
8a + 12 = 0
8a = -12
a= -3/2
Soru 4:
a ve b olumlu gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde orijinden geçen
p (x + a) + b
p (x + a) – b
p (x – a) – b
biçiminde tanımlanan üç parabolün zirve noktaları, alanı 16 birimkare olan bir üçgenin köşe noktalarıdır.
Buna nazaran, a + b toplamı kaçtır?
Çözüm 4:
p (x) = (x-a)² -b polinomu orjinden geçiyorsa, (0,0) noktası parabolün bir noktasıdır.
0 = (0-a)² – b
0 = a² – b => a² = b ‘dir.
Diğer polinomların zirve noktasını bulalım.
p ( x + a) + b = (((x+a)-a)² – b ) + b
=x² – b + b
= x²’dir. Zirve noktası (0,0) noktasıdır.
p ( x + a) -b = (((x-a)-a)² -b ) -b
= x²-b-b
= x² – 2b’dir. Zirve noktası (0,2b) noktasıdır.
p (x-a) -b =(((x-a)-a)² – b ) -b
= (x-2a)² -b -b
= (x-2a)² -2b’dir. Zirve noktası (2a, -2b) noktasıdır.
Koordinat düzleminde inceleyelim.
Taban kısmı 2a uuzunlukta, yüksekliği ise 2b uzunluğunda olan bir üçgen elde ediliyor. Bu üçgenin alanı ise 16br² ise,
(2b.2a)/2 = 16
ab = 8’dir.
a² = b ise a = 2’dir.
b = a² = 4’tür.
a + b = 2+4 = 6
Soru 5:
f(x) işlevinin grafiği, formdaki üzere, Ox eksenine (1, 0) noktasında teğet olan ve (0, 3) noktasından geçen paraboldür.
Buna nazaran, f(3) kaçtır?
Çözüm 5:
Tepe noktası (1, 0) noktası ise
y = a(x-1)² + 0 denklemi ortaya çıkar.
(0, 3) noktasından geçtiğini kabul edersek,
3 = a(0-1)²
3 = a.1 => a = 3
f(x) = 3(x-1)² ise f(3)=3.(3-1)² = 3.4 = 12’dir.
